1.1 Importancia de la ingeniería económica.
1.1.1 La ingeniería económica en la toma
de decisiones.
1.1.2 Tasa de interés y tasa de rendimiento.
1.1.3 Introducción a las soluciones por
computadora.
1.1.4 Flujos de efectivo: estimación y
diagramación.
1.2 El valor del dinero a través del tiempo.
1.2.1 Interés simple e interés compuesto.
1.2.2 Concepto de equivalencia.
1.2.3 Factores de pago único.
1.2.4 Factores de Valor Presente y
recuperación de capital.
1.2.5 Factor de fondo de amortización y
cantidad compuesta.
1.3 Frecuencia de capitalización de interés.
1.3.1 Tasa de interés nominal y efectiva.
1.3.2 Cuando los periodos de interés
coinciden con los periodos de pago.
1.3.3 Cuando los periodos de interés son
menores que los periodos de pago.
1.3.4 Cuando los periodos de interés son
mayores que los periodos de pago.
1.3.5 Tasa de interés efectiva para
capitalización continúa.Desarrollo de la Unidad 1
1.1Importancia de la ingeniería económica
Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser, una vez más, económicos y no económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual.
1.1.1 La ingeniería económica en la toma de decisiones.
Los métodos y técnicas de la ingeniería económica ayudan a muchas personas a tomar decisiones. Como estas decisiones influyen en lo que posteriormente se hará en el marco de referencia temporal de esta ingeniería será el futuro, por lo tanto los números conforman las mejores estimaciones de lo que se espera que suceda. Estas estimaciones están conformadas por tres elementos fundamentales: flujo de efectivo, tasa de interés y su tiempo de ocurrencia (Blank y Tarquin, 2006, p.7). Los pasos en los procesos de la toma de decisiones son los siguientes:
1. Compresión del problema y definición del objetivo.
2. Reunión de datos importantes.
3. Selección de posibles respuestas alternativas.
4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o varios atributos.
5. Valoración de las opciones existente.
6. Elección de la opción más óptima y adecuada
7. Implantar el resultado.
8. Vigilar todos los resultados.
Un estudio de ingeniería económica se realiza utilizando un procedimiento estructurado y diversas técnicas de modelado matemático. Después, los resultados económicos se usan en una situación de toma de decisiones que implica dos o más alternativas que por lo general incluye otra clase de información y conocimiento de ingeniería.
1.1.2 Tasa de interés y tasa de rendimiento
Tasa de Interés
La tasa de interés podría definirse de manera concisa y efectiva como el precio que debo pagar por el dinero; es el porcentaje al que está invertido un capital en un período determinando, lo que se conoce como “el precio del dinero en el mercado financiero”.
Dicho de otro modo: si pido dinero prestado para llevar adelante una compra o una operación financiera, la entidad bancaria o la empresa que me lo preste me cobrará un adicional por el simple hecho de haberme prestado el dinero que necesitaba. Este adicional es lo que conocemos como tasa de interés.
La tasa de interés se expresa en puntos porcentuales por un motivo evidente, y es que cuanto más dinero me presten más deberé pagar por el préstamo.
En economía, la tasa de interés cumple un rol fundamental. Si las tasas de interés son bajas porque hay más demanda o mayor liquidez, habrá más consumo y más crecimiento económico. Sin embargo, las tasas de interés bajas favorecen la inflación, por lo que muchas veces se mantienen altas a propósito para favorecer el ahorro y evitar que se disparen los precios.
En cuanto a la TIIE, esta tasa de interés es muy importante porque refleja de manera diaria la Tasa Base de Financiamiento. De este modo, los bancos la utilizan como parámetro para establecer las tasas de interés que cobrarán por los créditos que otorgan.
Las tasas de interés, tienen diferentes nomenclaturas, determinaciones o aplicaciones según se trate de qué sistema las aplica. Por ejemplo, en el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas:
§ Tasa de interés activa: porcentaje que los bancos cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito
A su vez, las tasas pueden verse en tipos de interés nominales y reales. Ellas, dentro del marco de la macroeconomía tienen influencia en otras variables de la economía, en particular con:
Tasa de rendimiento
La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión, está definida como el promedio geométrico de los rendimientos futuros esperados de dicha inversión, y que implica por cierto el supuesto de una oportunidad para "reinvertir". En términos simples en tanto, diversos autores la conceptualizan como la tasa de interés (o la tasa de descuento) con la cual el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero. El VAN o VPN es calculado a partir del flujo de caja anual, trasladando todas las cantidades futuras al presente. Es un indicador de la rentabilidad de un proyecto: a mayor TIR, mayor rentabilidad.
Se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión. Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte, el coste de oportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidad utilizado para comparar la TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo). Si la tasa de rendimiento del proyecto - expresada por la TIR- supera la tasa de corte, se acepta la inversión; en caso contrario, se rechaza.
otras definiciones
- Es la tasa que iguala la suma del valor actual de los gastos con la suma del valor actual de los ingresos previstos:
- Es la tasa de interés para la cual los ingresos totales actualizados es igual a los costos totales actualizados:
- Es la tasa de interés por medio de la cual se recupera la inversión.
- Es la tasa de interés máxima a la que se pueden endeudar para no perder dinero con la inversión.
- Es la tasa de interés para la cual el Valor Actualizado Neto (VAN) es igual a cero:
- Es la tasa real que proporciona un proyecto de inversión y es aquella que al ser utilizada como tasa de descuento en el cálculo de un VAN dará como resultado 0.
uso general de la tir
Como ya se ha comentado anteriormente, la TIR o tasa de rendimiento interno, es una herramienta de toma de decisiones de inversión utilizada para conocer la factibilidad de diferentes opciones de inversión.
El criterio general para saber si es conveniente realizar un proyecto es el siguiente:
- Si TIR
- Si TIR
1.1.4 Flujos de efectivo: estimación y diagramación
Uno de los elementos fundamentales de la ingeniería económica son los flujos de efectivo, pues constituyen la base para evaluar proyectos, equipo y alternativas de inversión.
El flujo de efectivo es la diferencia entre el total de efectivo que se recibe (ingresos) y el total de desembolsos (egresos) para un periodo dado (generalmente un año).
La manera más usual de representar el flujo de efectivo es mediante un diagrama de flujo de efectivo, en el que cada flujo individual se representa con una flecha vertical a lo larga de una escala de tipo horizontal.
Los flujos positivos (ingresos netos), se representan convencionalmente con flechas hacia arriba y los flujos negativos (egresos netos) con flechas hacia abajo. La longitud de una flecha es proporcional a la magnitud del flujo correspondiente.
Esquemas de flujo de efectivo
· Para evaluar las alternativas de gastos de capital, se deben determinar las entradas y salidas de efectivo.
· Para la información financiera se prefiere utilizar los flujos de efectivo en lugar de las cifras contables, debido a que estos son los que reflejan la capacidad de la empresa para pagar cuenta o comprar activas.
Los esquemas de flujo de efectivo se clasifican en:
· Ordinarios
· No ordinarios
· Anualidad
· Flujo mixto
Flujos de efectivo ordinarios. Consiste en una salida seguida por una serie de entradas de efectivo.
Flujos de efectivo no ordinarios. Se dan entradas y salidas alternadas. Por ejemplo la compra de un activo genera un desembolso inicial y una serie de entradas, se repara y vuelve a generar flujos de efectivo positivos durante varios años.
Anualidad (a). Es una serie de flujos de efectivo iguales de fin de periodo (generalmente al final de cada año). Se da en los flujos de tipo ordinario.
Flujo mixto. Serie de flujos de efectivos no iguales cada año, y pueden ser del tipo ordinario o no ordinario.
1.2.1 Interés simple e interés compuesto.
El interés pagado y recibido puede considerarse como simple o compuesto.
1. Interés Simple
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.
Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año)..
Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.
El sistema de interés simple se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período.-
Esta es la diferencia o elemento que hace que una suma de dinero colocada a interés simple produzca un interés menor a que si fuera colocada a interés compuesto, es que en el primero los intereses producidos por el capital en el período no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo.
Es decir que los intereses que genere este capital invertido a interés simple serán igual en todos los períodos por los que dure la inversión, suponiendo que el resto de los factores, plazo y nivel de tasa no varíen.
2. Interés Compuesto
El sistema de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período. Por lo que si al vencimiento de la operación se renueva la misma por un nuevo período al incorporarse los intereses al capital original; se podrá observar que los intereses que ganará en este segundo período serán mayores a los generados en el primero. Ello es una consecuencia de que el capital colocado es superior al habérsele acumulado los intereses ganados en el primer período y así sucesivamente.
1.2.2 Concepto de equivalencia.
Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero; utilizado como modelo para simplificar aspectos de la realidad.
Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto:
Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras.
Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo:
1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano.
2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado.
La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés.
Para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras.
Como vimos, no es posible sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son iguales. Cuando expusimos el concepto de inversión, vimos que la persona ahorra o invierte UM 10 para obtener más de UM 10 al final de un período, determinamos que invertirá hasta cuando el excedente pagado por su dinero, no sea menor al valor asignado al sacrificio de consumo actual, es decir, a la tasa a la cual está dispuesta a cambiar consumo actual por consumo futuro.
Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera.
Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:
VF = VA + compensación por aplazar consumo
Donde:
VF = Suma futura poseída al final de n períodos, Valor Futuro.
VA = Suma de dinero colocado en el período 0, Valor Actual.
El valor actual (VA) es equivalente a mayor cantidad en fecha futura (VF), siempre y cuando la tasa de interés sea mayor a cero.
Diagrama de equivalencia de capitales
Al cabo de un año UM 100 invertido al 9% anual, es UM 109. Entonces decimos: el valor futuro de UM 100 dentro de un año, al 9% anual, es UM 109. En otras palabras: el valor actual de UM 109 dentro de un año, al 9% anual, es UM 100.
Es decir UM 100 es equivalente a UM 109 dentro de un año a partir de hoy cuando la tasa de interés es el 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, UM 100 hoy no es equivalente a UM 109 dentro de un año.
Aplicamos el mismo razonamiento al determinar la equivalencia para años anteriores.
UM 100 hoy es equivalente a UM 100 / 1.09 = UM 91.74, es decir:
UM 91.74 hace un año (anterior), UM 100 hoy y UM 109 dentro de un año (posterior) son equivalentes entre sí al 9% de capitalización o descuento. Con esto establecemos que:
Estas tres sumas de dinero son equivalentes al 9% de interés anual, diferenciado por un año.
Las fórmulas financieras que permiten calcular el equivalente de capital en un momento posterior, son de Capitalización Simple o Compuesta, mientras aquéllas que permiten calcular el equivalente de capital en un momento anterior las conocemos como fórmulas de Descuento Simple o Compuesto. Estas fórmulas permiten también sumar o restar capitales en distintos momentos. Desarrollamos ampliamente el concepto de equivalencia cuando tratamos las clases de interés.
1.2.3 Factores de pago único.
En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i. y (2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. en notación estándar de factores, entonces, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera:
P = F(P/F, i efectivo por periodo, número de periodos)
F = P(F/P, i efectivo por periodo, número de periodos)
Por consiguiente, para una tasa de interés del 12% anual compuesto mensualmente, podrían utilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de n que aparecen en la siguiente tabla, en las fórmulas de pago único. Por ejemplo, si se utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1%), entonces el término n debe estar en meses (12). Si se utiliza una tasa de interés efectiva semestral para i, es decir (1.03)3 - 1 ó 3.03%, entonces n debe estar en trimestres (4).
Tasa de interés efectiva
|
Unidades para n
|
1% mensual
|
Meses
|
3.03% trimestral
|
trimestres
|
6.15% semestral
|
Periodos semestrales
|
12.68% anual
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Años
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26.97% cada 2 años
|
Periodos de 2 años
|
El señor Hernández planea invertir su dinero en un depósito que paga el 18% anual compuesto diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá anual y semestralmente?
i anual = (1+0.18/365)365-1 = 19.72%
i semestral = (1+.09/182)182-1 = 9.41%
Si una persona deposita $1000 ahora, $3000 dentro de 4 años a partir de la fecha del anterior depósito y $1500 dentro de 6 años a una tasa de interés del 12% anual compuesto semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?
Solución: Suponga que se ha decidido utilizar una tasa de interés anual para resolver el problema. Dado que solamente pueden ser utilizadas tasas de interés efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con la tabla anterior, para r = 12% y capitalización semestral, i efectivo = 12.36%, o mediante la ecuación:
i anual =(1 +0.12/2)2 - 1 = 0.1236 = 12.36%
Dado que i está expresado en unidades anuales, n debe estar expresado en años. Por lo tanto.
F = 1000(F/P,12.36%,10)+3000(F/P,12.36%,6)+1500(F/P,12.36%,4)
F = 1000(3.21)+3000(2.01)+1500(1.59)
F = $11625.00
Como el interés capitaliza semestralmente, si utilizamos la tasa de interés efectiva semestral, obtenemos el siguiente resultado:
F = 1000(F/P,6%,20)+3000(F/P,6%,12)+1500(F/P,6%,8)
F = 1000(3.2071)+3000(2.0122)+1500(1.5938)
F = $11634.40
1.2.4 Factores de Valor Presente y recuperación de capital.
El Valor actual neto también conocido valor actualizado neto (en inglés Net present value), cuyo acrónimo es VAN (en inglés NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto.
El método de valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar la equivalencia en el tiempo 0 de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso inicial. Cuando dicha equivalencia es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado.
La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:
Vt representa los flujos de caja en cada periodo t.
I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión.
n es el número de períodos considerado.
El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo específico. En otros casos, se utilizará el coste de oportunidad.
Cuando el VAN toma un valor igual a 0, k pasa a llamarse TIR (tasa interna de retorno). La TIR es la rentabilidad que nos está proporcionando el proyecto
A factor de la recuperación de capital es el cociente de una constante anualidad a valor actual de recibir esa anualidad para una longitud del tiempo dada. El usar tipo de interés i, el factor de la recuperación de capital es:
Donde n es el número de las anualidades recibidas.
Esto se relaciona con fórmula de la anualidad, que da el valor actual en términos de anualidad, tipo de interés, y número de anualidades.
Si n = 1, el CRF reduce a 1+i. Como n va al infinito, el CRF va a i
Este factor permite transformar un valor presente en una serie uniforme:
A = P (1 + i)n . I
(1 + i)n - 1
Donde:
A = Serie constante o uniforme
1.2.5 Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta
Las amortizaciones son utilizadas en el ámbito de las finanzas y el comercio para calcular el pago gradual de una deuda, ya que sabemos que en la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Ahora el punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos. Es aquí cuando la figura del "Fondo de Amortización" se hace necesaria.
Fórmula:
(1+i)n - 1
Factor de cantidad compuesta de una serie uniforme
i
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